Cardinalidade da União de Três Conjuntos

Sei que este post sai um pouco do tema da informática do cotidiano, mas é um problema de matemática discreta presente nos cursos de informática. Estudando matemática, para um curso que estou fazendo, precisei de uma referência na rede sobre esse problema e não encontrei. A melhor que achei foi essa que não tem todo o desenvolvimento:

http://educacao.uol.com.br/matematica/conjuntos-operacoes.jhtm

Vamos ao problema então:

Este desenvolvimento  trata o problema do cardinal da união de tal forma a extrair todas as possibilidades. Tomemos genericamente os conjuntos A, B e C. Quando precedido do simbolo # (tralha) se trata do cardinal do conjunto, que significa a quantidade de elementos do conjunto.

Tomando:

AᴗB temos que: #(AᴗB)= #A + #B - #(AᴖB) Equação 1

Tomando AᴗB por D temos que: 

#(CᴗD)=#C+#D-#(CᴖD) Equação 2

Substituindo a equação 1 na equação 2 temos que:

#(AᴗBᴗC)= #A+#B-#(AᴖB)+#C-#{(AᴗB)ᴖC}

#(AᴗBᴗC)=#A+#B-#(AᴖB)+#C-#{(AᴖC)ᴗ(BᴖC)} Equação 3

Paro aqui a solução deste trecho para retomá-lo mais adiante, irei resolver em separado esta parte #{(AᴖC)ᴗ(BᴖC)} e integrá-lo resolvido à equação em seguida.

Tomemos (AᴖC) por E e (BᴖC) por F temos: #(EᴗF). Por analogia a Equação 1 posso afirmar que:

#(EᴗF)= #E + #F - #(EᴖF) Equação 4

Substituindo os E e F na equação 4 temos:

#{(AᴖC)ᴗ(BᴖC)} = #(AᴖC) + #(BᴖC) - #{(AᴖC)ᴖ(BᴖC)}

#{(AᴖC)ᴗ(BᴖC)} = #(AᴖC) + #(BᴖC) - #(AᴖBᴖC) Equação 5

Retomando a Equação 3 e substituindo a Equação 5 na Equação3 temos:

#(AᴗBᴗC) =#A+#B-#(AᴖB)+#C-{#(AᴖC)+#(BᴖC)-#(AᴖBᴖC)}

Reorganizando temos a:

#(AᴗBᴗC)=#A+#B+#C-#(AᴖB)-#(AᴖC)-#(BᴖC)+#(AᴖBᴖC)

Segue um exemplo prático de um problema de cardinais da união de dois conjuntos.

A Prefeitura municipal da cidade de Alegria possui 630 servidores. Destes, 350 trabalham com Orçamento Público, 210 trabalham com Legislação Tributária e Comercial e 90 trabalham com os dois temas. Pergunta-se:

a) quantos servidores trabalham apenas com Orçamento Público?

b) quantos servidores trabalham apenas com Legislação Tributária?

c) quantos servidores trabalham com Orçamento Público ou Legislação Tributária?

d) quantos servidores não trabalham com nenhum dos dois temas?

Solução:

Tomemos genericamente os conjuntos A e B. Quando precedido do simbolo # (tralha) se trata do cardinal do conjunto, que significa a quantidade de elementos do conjunto.

Tomando: AᴗB temos que: 

#(AᴗB)=#A+#B-#(AᴖB) Fórmula

Chamando:

# U = número total de servidores = 630,

# A = número de servidores que trabalham com Orçamento Público = 350,

# B = número de servidores que trabalham com Legislação Tributária = 210,

#A∩B = número de servidores que trabalham com Orçamento Público e Legislação Tributária = 90.

a) quantos servidores trabalham apenas com Orçamento Público (A)?

O que procuro? Só A ou também A-B

Só que A - B é muito diferente de #A-#B.

Fazendo o diagrama (Está na apostila), percebemos que:

Só A=#A-#(AᴖB)

aplicando os números temos:

Só A=350-90

 Só A=260 servidores

b) quantos servidores trabalham apenas com Legislação Tributária (B)?

Analogamente a letra a temos:

Só B=#B-#(AᴖB)

Aplicando os números:

Só B=210-90

Só B=120 servidores

c) quantos servidores trabalham com Orçamento Público ou Legislação Tributária?

Procuramos aqui quantos elementos tem a união dos dois conjuntos: #(AᴗB)
Assim queremos exatamente a fórmula: #(AᴗB)=#A+#B-#(AᴖB)

Substituindo os números temos: #(AᴗB)= 350+ 210-90
Realizando a conta: #(AᴗB)= 470 servidores

d) quantos servidores não trabalham com nenhum dos dois temas?

O que procuramos podemos escrever assim: #U-#(AᴗB)
Aplicando números temos: #U-#(AᴗB)=630-470
Resolvendo a continha temos: #U-#(AᴗB)=160 servidores 

Agradeço ao Professor José Expedito de Freitas do Departamento de Ciência da Computação da Unimontes que foi quem me ensinou sobre o tema!